Peut-on résoudre un Rubik’s Cube par le simple hasard?
Photo: http://blog.slate.fr/globule-et-telescope/2010/08/12/maths-nombre-de-dieu-rubiks-cube/
Malheureusement, ce n’est pas aussi simple! Dans cet article, nous avons étudié le nombre total de configurations possibles du cube de Rubik afin de répondre à cette question.
Un Rubik’s Cube est composé de 26 petits cubes emboîtés les uns avec les autres. Les cubes centre étant fixes, il existe deux types de petits cubes dont les positions peuvent varier: les cubes « sommet » qui possèdent trois faces de couleur et les cubes « arête » qui possèdent deux faces de couleur.
Calcul du nombre de configurations possibles des cubes sommet:
Il s’agit ici de calculer une probabilité, une chance, pour qu’en manipulant le cube, on parvienne à le résoudre, sans pratiquer de raisonnement.
Il y a 8 cubes sommet et chacun d’eux peut occuper n’importe quelle position, à chaque angle du cube. Un Rubik’s Cube possédant 8 angles, chaque cube sommet peut être placé à 8 emplacements différents. Cependant, une fois le 1er cube sommet placé, il reste 7 emplacements possibles pour les autres ; une fois le 2ème cube sommet placé, il reste 6 emplacements possibles ; et ainsi de suite. Ce qui nous amène au calcul suivant: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40 320.
Chaque cube sommet possédant 3 faces visibles, il existe 3 orientations différentes. Ainsi, il faut multiplier le nombre 40 320 par 3^8.
Mais il existe une contrainte sur l’orientation de ces cubes sommet : si on fixe l’orientation de 7 cubes sommet alors celle du 8ème est parfaitement déterminée. Il y a donc 40 320 x 3^7= 88 179 840 configurations possibles pour les cubes sommet.
Calcul du nombre de configurations possibles des cubes arête:
De la même manière, il y a 12 cubes arête et l’on peut placer un cube arête en n’importe quelle position arête. Cependant, des lors que le premier cube arête sera positionné, il ne restera que 11 possibilités pour le prochain ; lorsque que le deuxième cube arête sera positionné, il ne restera que 10 possibilités pour le prochain ; et ainsi de suite. Ce qui nous amène au calcul suivant: 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 479 001 600.
Chaque cube arête possédant 2 faces visibles, il existe 2 orientations possibles. Ainsi, il faut multiplier le nombre 479 001 600 par 2^12.
Mais il y a également une contrainte sur l’orientation des cubes arête : l’orientation des 11 premiers cubes arête détermine celle du douzième. En réalité, il ne faut donc multiplier le nombre 479 001 600 que par 2^11. Il y a donc 479 001 600 x 2^11 = 80 995 276 800 configurations possibles pour les cubes arête.
Calcul du nombre total de configurations possibles du Rubik’s Cube:
Lorsque tous les petits cubes sont bien positionnés sauf 2, de même nature, l’emplacement de ces deux derniers cubes est imposé. En effet, il n’est pas possible de permuter seulement deux cubes arête ou seulement deux cubes sommet. De ce fait, le nombre total de combinaisons possibles est divisé par deux. .
Cela nous donne le calcul suivant:
(40 320x 3^7x 479 001 600 x 2^11) / 2 = (88 179 840 x 980 995 276 800) /2
= 86 495 318 850 000 000 000 / 2
= 43 247 659 430 000 000 000
soient 43 milliards de milliards de configurations différentes, ou 43 trilliards.
Ainsi, nous pouvons déduire de ce calcul que tenter de résoudre un Rubik’s Cube en s’en remettant au hasard revient à avoir une chance sur 43 trilliards de réussir ! Les chances sont donc plutôt minces…
Nous vous conseillons alors d’adopter la résolution du cube grâce aux algorithmes, pour une résolution assurée et rapide… 🙂
Photo: http://www.vincentabry.com/record-du-monde-du-rubiks-cube-battu-10222
